Чистый и поперечный изгиб балки. Архив рубрики: Изгиб. Решение примера задачи на прямой изгиб
Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...
...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.
Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.
Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?
Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.
Исходные данные:
F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики
d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка
E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3
[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3
Граничные условия:
Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)
Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)
V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)
V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)
Расчет:
1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н
Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0 Поперечная сила: Qy (z) = -R1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 м:
Qy (0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Vy (0) = V (0) = 0 мм z = 0,6 м:
Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб. 5.
Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2 Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix) z = 1,2 м:
Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н*м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Строим эпюры, используя данные полученные выше. 7.
Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями: σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2 По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров. Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети. Прошу УВАЖАЮЩИХ
труд автора ПОДПИСАТЬСЯ
на анонсы статей.
88 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»
Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной. Балки в доме При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей. Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала. Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий. Деревянные перекрытия Для расчета максимального прогиба следует учитывать: Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки. Конструкции из древесины хвойных пород Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений. Стальные перекрытия Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений: Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку. Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео:
Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции. Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям. Существует два основных метода расчета прочности и жесткости: Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка. Расчет балок на прогиб Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула: M – максимальный момент, который возникает в балке; W n,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля. R y является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали. γ c представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной. Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия: Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные: Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной. Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой: Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости. Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу: q является равномерно-распределенной нагрузкой; E – модуль упругости, который является табличной величиной; l – длина; I – момент инерции сечения. Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей. Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам: Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик. Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками: Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные: Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6. Если подставить все эти значения в формулу, то получится: q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг/м. Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦]. Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см. Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается. Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул. Задача 1
В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М
=28 кНм, Q
=
19 кН.
Требуется:
а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К,
отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,
б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.
Решение
а) Для определения σ (К
) , τ (К
) и max
σ, max
τ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I Н.О.
, осевого момента сопротивления W Н.О.
, статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения S
max
: б) Проверка прочности:
— по условию прочности нормальных напряжений:
— по условию прочности касательных напряжений:
Задача 2
В некотором сечении балки М
=10кНм, Q
=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.
Задача 3
Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h
/b
=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.
А
и В
и составляем уравнения статики: (1) ∑М
(В
) = F
·8 – М
– А
·6 + (q
·6)·3 =0, (2) ∑М
(А
) = F
·2 – М
+ В
·6 — (q
·6)·3 =0, Iучасток
∑М
(С
) = М
(z
1) +F
·z
1 =0, ММ
(z
1) = -F
·z
1 = — 30 ·z
1 — – уравнение прямой.
При z
1 = 0: М
= 0, z
1 = 2: М =-
60 кНм. ∑у
= — F
— Q
(z
1) = 0, Q
(z
1) = — F
= -30 кН – постоянная функция. II участок
откуда — уравнение параболы
. При z
2 =0: М
= 0, z
2 =3м: М
= 30 · 3 – 5 · 3 2 = 90 — 45 = 45кНм, z
2 =6м: М
= 30 · 6 – 5 · 6 2 = 180 — 180 = 0. ∑у
= Q
(z
2) — q
·z
2 + B
= 0, Q
(z
2) = q
·z
2 — B
= 10·z
2 – 30 – уравнение прямой
, при
z
2 = 0: Q
= -30,
z
2 = 6м: Q
= 10·6 – 30 = 30. Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:
из условиянаходим : Заметим, что скачок в эп.М
расположен там, где приложен сосредоточенный момент М
= 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q
– под сосредоточенной силой А
= 60 кН. Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М
. В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм а) сечение круглой формы d
=?
б) сечение прямоугольной формы при h
/b
= 2:
Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям: Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения: — для круглого сечения
— для прямоугольного сечения
Воспользуемся этими формулами. Тогда — для балки круглого сечения при — для балки прямоугольного сечения Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений: А
прямоугольного = 865,3см 2 < А
круглого = 1218,6см 2 , следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.
Задача 4
Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.
Задаёмся направлениями опорных реакций А
и В
и составляем два уравнения статики для их определения: (1) ∑М
(А
) = – М
1 – F
·2 — (q
·8)·4 + М
2 + В
·6 =0, (2) ∑М
(В
) = – М
1 – А
· 6 + F
· 4 + (q
·8)·2 + М
2 =0, Проверка: ∑у
= А
– F
– q
· 8 + В
= 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0. ∑М
(С
) = М
(z
1) - М
1 =0, М
(z
1) = М 1 = 40 кНм – постоянная функция.
∑у
= — Q
(z
1) = 0, Q
(z
1) = 0. II участок
Приz
2 =0: М
= 40 кНм, z
2 =1м: М
= 40 + 104 – 10=134кНм, z
2 =2м: М
= 40+ 104 · 2 – 10 · 2 2 = 208 кНм. ∑у
=А
— q
·z
2 — Q
(z
2) = 0, Q
(z
2) =А
— q
·z
2 = 104 – 20·z
2 – уравнение прямой,
при
z
2 = 0: Q
= 104кН,
z
2 = 6м: Q
= 104 – 40 = 64кН. III участок
Приz
3 =0: М
= 24+40=-16 кНм, z
3 =2м: М
= 24 + 136·2 — 10 (2+2) 2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм, z
3 =4м: М
= 24 + 136·4 – 10 (2+4) 2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм. ∑у
=В
— q
(2+z
3) + Q
(z
3) = 0, Q
(z
3) =- В
+ q
(2+z
3) = -136 + 20 (2+z
3) – уравнение прямой,
при
z
3 = 0: Q
= -136 + 40 = — 94кН,
z
3 = 4м: Q
= — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН. IV участок
z
4 =0: М
= 0кНм, z
4 =1м: М
= – 10кНм, z
4 =2м: М
= — 40кНм. ∑у
=- q
·z
4 + Q
(z
4) = 0, Q
(z
4) =q
·z
4 = 20·z
4 – уравнение прямой.
Приz
4 = 0: Q
= 0,
z
4 = 2м: Q
= 40кН. Проверяем скачки в эпюрах: а) В эпюре М
скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М
2 =24, приложенному в этом месте. б) В эпюре Q
три скачка: первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А
=104кН, второй – под силой F
=80кН и равен ей (64+16=80кН), третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН) Наконец, проектируем двутавровое сечение. Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям: ∑М
(С
) = М
(z
1) + F
·z
1 =0, М
(z
1) = - F
·z
1 = -20·z
1 . При z
1 =0: М
= 0,
z
1 =2м: М
= – 40кНм, ∑у
= - F
— Q
(z
1) = 0, Q
(z
1) = — 20кН. II участок
z
2 =0: М
= — 20 – 40 = -60 кНм, z
2 =4м: М
= 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм. ∑у
=- F
+ А
— Q
(z
2) = 0, Q
=- F
+ А=
-20+50=30кН. III участок
Приz
3 =0: М
= — 20·4= — 80 кНм, z
3 =2м: М
= 210·2 — 20·(2+2) 2 = 420 – 320 = 100кНм, z
3 =4м: М
= 210·4 – 20 · (2+4) 2 = 840 – 720 = 120кНм. ∑у
= Q
(z
3) + В
— q
·(2+z
3) = 0, Q
(z
3) = — В
+ q
·(2+z
3) = — 210 + 40·(2+z
3) – уравнение прямой.
Приz
3 = 0: Q
= -130кН,
z
3 = 4м: Q
= 30кН. Q
(z
0) = — 210 + 40·(2+z
0) = 0, — 210 + 80 + 40·z
0 = 0, 40·z
0 = 130, z
0 =3,25м, IV участок
Приz
4 =0: М
= 0 кНм, z
4 =1м: М
= – 20кНм, z
4 =2м: М
= — 80кНм. ∑у
=- q
·z
4 + Q
(z
4) = 0, Q
(z
4) =q
·z
4 = 40·z
4 – уравнение прямой
,
z
4 = 0: Q
= 0,
z
4 = 2м: Q
= 80кН. 3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: | max
М
|=131,25кНм,
опасное сечение по τ: | max
Q
|=130кН).
Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)
Принимаем: В=0,24м,
Н=0,48м.
Проверяем по τ: Вариант 2. Деревянное круглое
Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85
определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше - 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб. Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность. К сведению!
Чтобы реально представлять, почему так важно знать величину отклонения от первоначального положения, стоить понимать, что измерение величины прогиба является единственным доступным и достоверным способом определить состояние балки на практике. Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет. Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета. Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото. В нашем случае балка: Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ
, где Е
- справочная величина, R
— усилие, Δ
— величина деформации тела. Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е)
. Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е)
. Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже. Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е)
. Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M max = q*L*2/8
, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е)
. Величину b·h 2 /6
называют моментом инерции и обозначают W
. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е)
основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E
через момент инерции и изгибающий момент. Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления. Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h - размеры сечения балки. Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150. Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя. На практике чаще всего стоит обратная задача - определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии. Совет!
В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты. Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения. Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем: Вопрос - почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия. Совет!
Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния. Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа - это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге. Изгибом
называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения. Изгиб называется чистым
, если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент. Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным
. Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией
. При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для поперечных сил Q: Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Правило знаков для изгибающих моментов M: Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости: На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М: Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе. 1.
На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией
, параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а). 2.
В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок
, равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома
(рис. а). 3.
В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок
, равный значению этого момента, (рис. 26, б). 4.
На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки
(рис. в, г). 5.
Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г). Определяются по формуле: Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина: Опасным сечением
при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Определяются по формуле Журавского
для касательных напряжений при прямом изгибе балки: где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии. 1.
При проверочном расчете
определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением: 2.
При проектном расчете
подбор сечения бруса производится из условия: 3.
При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия: Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия: Прогиб балки Y
- перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси. Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z) Угол поворота сечения
- угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z). Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора
и правило Верещагина
. Порядок определения перемещений по методу Мора: 1.
Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент. 2.
Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки. 3.
По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение: 4.
Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы. Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки
имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина. где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.Статьи с близкой тематикой
Отзывы
Деревянные
Стальные
Прочность и жесткость балки
Расчет на жесткость
Расчет моментов инерции и сопротивления сечения
Определение максимальной нагрузки и прогиба
Особенности расчета на прогиб
Пример подсчета прогиба
где 
Тогда
И тогда
откуда: :
тогда
:
— парабола
.
— парабола
.
- парабола.
- парабола.
парабола.
Способы выполнить расчет и проверку на прогиб
Методика выполнения расчета на прогиб
Вычисляем моменты инерции и сил
Формулы для практического использования
Заключение
Внутренние силовые факторы при изгибе балки.
Дифференциальные зависимости Журавского.
Нормальные напряжения при изгибе.
Касательные напряжения при прямом изгибе.
Расчеты на прочность при изгибе.
Перемещения при изгибе.
Метод Мора.
Правило Верещагина.
